SISTEMAS DIGITALES DEL ALGEBRA DE BOOLE

EL ÁLGEBRA DE BOOLE

El álgebra de boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma y producto cumple las siguientes propiedades:
amabas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del álgebra , se verifica:

a+b = b+a a*b = b*a

Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada un dicha de las operaciones:
0+a=a 1*a=a
cada operación es distributiva con respecto ala otra:
a*(b+c)= a*b+a*c a+(b*c)= (a+b)*(a+c)
para cada elemento del álgebra existe un elemento denominado a, tal que:
a+a=1 a*a=0

Físicamente son varios lo s conjuntos que poseen dos operaciones binarias que cumplen los postulados desarrollados. Ejemplos de estos conjuntos son el álgebra de las proposiciones o juicios formales y el álgebra de la conmutación formada también por elementos que pueden tomar dos estados perfectamente diferenciados.

Los primeros circuitos de conmutación o lógicos utilizados, han sido los contactos que pueden ser empleados para memorizar mas fácilmente las leyes del álgebra boole antes expresadas y los teoremas. La operación suma se asimila a la conexión en serie. El inverso de un contacto es otro cuyo estado es siempre el opuesto del primero, es decir esta cerrado cuando aquel este abierto y viceversa. El elemento 0 es un contacto que esta siempre abierto y el elemento 1 un contacto que esta siempre cerrado. Además se considera una función de trasmisión entre dos terminales de un circuitos de contactos, que toma el valor 1, cuando existe un camino para la circulación de corriente entre ellos (corto circuito) y el valor 0 si no existe dicho camino (circuito abierto).

TEOREMAS DE ÁLGEBRA DE BOOLE

TEOREMA 1

Cada identidad deducida de los anteriores postulados del álgebra de boole, permanece valida si la operación + y * y los elementos 0 y 1 se intercambian entre sí. Este principio, llamado la dualidad, se deduce inmediatamente de la simetría de los cuadros postulados con respecto a ambas operaciones y ambos elementos neutros.

TEOREMA 2

Por cada elemento a del álgebra del boole se verifica:
a+1 = 1 y a*0= 0

TEOREMA 3

Por cada elemento a de álgebra de boole se verifica:
a+a = a a*a= a

TEOREMA 4

Por cada par de elementos del álgebra de boole a y b se verifica:
a+a*b = a y a(a+b)= a
Esta ley se llama ley absorción.

TEOREMA 5

En un álgebra de boole, las operaciones suma y producto son asociativas:
a+ (b+c)=(a+b)+c= a+b+c
a (bc)=(ab)

TEOREMA 6

Para todo elemento a del álgebra de boole se verifica:

TEOREMA 7

En toda álgebra de boole se verifica:
· a +b +c+d= abad
· abad= a+b+c+d
Estas igualdades son denominadas leyes de morgan.

Estos teoremas definen realmente dos nuevas funciones lógicas de gran importancia que serán utilizadas como elementos básicos para la realización de los sistemas digitales. Estas dos funciones que realiza las expresiones algebraicas (1) y (2), se denominan respectivamente NOR Y NAND.

Las tres funciones elementales: suma, producto e inversión lógica pueden ser utilizadas mediante las funciones NOR Y NAND.

Aplicando el teorema de morgan tenemos:
ab=a b= a+b a+b= a+b= a b.

Las funciones NOR Y NAND de una sola variable constituyen la función de la inversión. La realización de las funciones suma, producto e inversión con las funciones NOR Y NAND se representan, mediante los símbolos estudiados.

FUNCIONES BOOLEANAS

Una función de álgebra de boole es una variable binaria cuyo valor es igual al de una expresión algebraica que se relaciona entre si las variables binarias por medio de las operaciones básica.

Producto lógico, suma lógica e inversión. Se representan una función lógica por la expresión F=f (a,b,c…); el valor lógico de f, depende de las variables a, b, c…. Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o inversa. Al primero de ellos se le llama producto canónicos (minterminos) y al segundo suma canónica (maxterminos).

Por ejemplo se una función de tres variables f(a, b, c, ); el termino abc es un producto canónico y el termino a + +b + c es una suma canónica. El número máximo de productos canónicos o sumas canónicas viene dado por las variaciones con repetición de dos elementos tomados de n en n. El numero de productos o sumas canónicas de n variables es por lo tanto 2n.

Para mayor facilidad de representación, de cada término canónico, se expresa mediante un número decimal equivalente al binario obtenido al sustituir las variables ordenadas con un criterio determinado por un 1 o un 0 según aparezca en su suma directa o complementaria respectivamente. Por ejemplo, los términos canónicos siguientes representaran.

Cuando una función que se expresa como una suma de productos canónicos o un productos de sumas canónicas, se dice que se encuentran en forma canónica.
Si tiene la expresión canónica en forma de suma se obtiene mediante el complemento a 2n-1 de los productos canónicos que no forman parte de la función.
Cuando una función lógica se presenta de una forma no canónica, su transformación en canónica resulta muy sencilla por procesos algebraicos.

Si desea obtener la expresión canónica en forma de sumas de productos canónicos, se operará algebraica mente aplicando las propiedades distributivas del producto con respecto ala suma, hasta obtener una expresión de suma de productos no canónicos. Para convertir a cada uno de estos productos en canónicos, se le multiplica por la suma de las variables que faltan en él y sus inversas.

De igual forma, si se desea obtener la expresión canónica en forma de productos de sumas canónicas se opera algebraica mente aplicando las propiedades distributivas de la suma con respecto al producto de sumas no canónicas. Para convertir cada una de estas sumas en canónicas, se le suma el producto de cada variable que falta en ellas por su inversa.

BIBLIOGRAFIA

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